Näherungsverfahren zur Berechnung von Nullstellen

Beschreibung / Inhalt
In dem vorliegenden Dokument geht es um das Newtonsche Iterationsverfahren zur Berechnung von Nullstellen von Funktionen. Es wird beschrieben, wie dieses Verfahren funktioniert und wie man Näherungswerte für Nullstellen ermitteln kann. Es wird auch die Formel für die Rekursion gegeben und erklärt, dass das Verfahren bei bestimmten Bedingungen konvergiert zur gesuchten Nullstelle.

Zudem wird kurz die Person Isaac Newton vorgestellt und seine Leistungen in der Mathematik und Physik genannt. Weiterhin gibt es einige Übungen und Aufgaben zum Thema. Es wird auch darauf hingewiesen, dass das Verfahren nicht immer zum Ziel führt und man prüfen muss, ob die Folge der Näherungswerte konvergiert.

Insgesamt ist das Dokument eine Einführung in das Newtonsche Iterationsverfahren und bietet einige Grundlagen und Übungen dazu.
Direkt das Referat aufrufen

Auszug aus Referat
Näherungsverfahren zur Berechnung von Nullstellen Das Newtonsche Iterationsverahren 1. Dieses Verfahren der Nullstellenanäherung macht von der Tatsache Gebrauch, dass der Funktionsgraph einer differenzierbaren Funktion in einer Umgebung U(x1) durch die Tangente im Punkte P1(x1 f(x1)) approximiert wird. Gelingt es einen Wert x1 zu finden, dessen Funktionswert schon nahe bei 0 liegt, so bestimmt man den Schnittpunkt der Tangente im Punkte P1 der x-Achse. Man kann erwarten, dass die so ermittelte Stelle x2 einen besseren Näherungswert für die gesuchte Nullstelle z darstellt als der Startwert x1. Für die Tangentenfunktion t zur Stelle x1 gilt: für die Nullstelle x1 dieser Funktion gilt also: Falls f´(x1) 0 ist, ergibt sich daraus: , also . Durch die Berechnung von (x2) kann man feststellen, ob x2 tatsächlich näher bei der gesuch-ten Nullstelle z liegt. Ist dies der Fall, so kann man das Verfahren zur Berechnung weiterer Näherungswerte wiederholen: , , usw. Auf diese Weise erhält man eine Folge von Näherungswerten x1, x2, ..., xn, xn 1, ... . Der Wert xn 1 ergibt sich aus dem vorhergehenden Wert xn nach der Rekursionsgleichung Wenn der Ausgangswert x0 ausreichend nahe bei der tatsächlichen Nullstelle z liegt, kann man erwarten, dass die Folge xn dieser Zahl z schließlich beliebig nahe kommt. Die Folge x1, x2, ..., xn strebt einem Grenzwert zu. So ist z also der Grenzwert der Folge xn, so das gilt: . Isaac Newton - zur Person - englischer Physiker, Mathematiker und Astronom - ...
Direkt das Referat aufrufen