Irrationale Quadratwurzeln

Beschreibung / Inhalt
Das Dokument beschäftigt sich mit irrationalen Quadratwurzeln und den damit verbundenen Eigenschaften von rationalen und irrationalen Zahlen. Zunächst wird erklärt, dass es auf der Zahlengeraden neben den rationalen Zahlen auch unendlich viele irrationale Zahlen gibt und dass die Menge der rationalen Zahlen unvollständig ist. Die Autorin/den Autor beschreibt dann eine Methode, um Intervalle von rationalen und irrationalen Zahlen zu erzeugen, die ineinandergeschachtelt sind und in denen die Länge der Intervalle mit wachsendem n beliebig klein wird. Eine solche Folge von Intervallen nennt man Intervallverschachtelung. Es wird betont, dass es höchstens eine Zahl gibt, die allen Intervallen in einer Intervallverschachtelung angehört. Am Ende des Dokuments wird erklärt, dass rationale Zahlen durch endliche oder unendliche periodische Dezimalbrüche dargestellt werden können, während irrationale Zahlen sich durch unendliche nichtperiodische Dezimalbrüche auszeichnen.
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Auszug aus Referat
Irrationale Quadratwurzeln Ohne daß wir es wissen ,hatten wir häufig schon Strecken gezeichnet, deren Länge eine irrationale Zahl war. x 2 - über der Menge der rationalen zahlen ist diese Lösungsmenge leer. Die Menge der rationalen Zahlen ist unvollständig :es gibt nicht für jede Länge eine rationale Maßzahl. Auf der Zahlengeraden gibt es außer den rationalen Punkten noch unendlich viele irrationale Punkte. Durch systematisches Vorgehen an der Zahlengeraden erhalten wir folgende Intervalle: I 1;2 , I 1,4;1,5 , I 1,41;1,42 ,.............. Jedes Intervall ist im Vorangehenden vollständig enthalten. Man sagt: Die Intervalle sind ineinandergeschachtelt. Eine Folge I , I , I ,......von unendlich vielen Intervallen nennt man Intervallverschachtelung ,wenn: jedes Intervall im vorangehenden vollständig enthalten ist und die Länge der Intervalle mit wachsendem n beliebig klein wird. Es gibt höchstens eine Zahl , die allen Intervallen in einer Intervallverschachtelung angehört. Die rationalen Zahlen lassen sich durch endliche oder unendliche periodische Dezimalbrüche darstellen. Zahlen ,die sich durch unendliche nichtperiodische Dezimalbrüche darstellen lassen heißen irrationale Zahlen. ...
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