Zufallsvariablen

Schlagwörter:
Laplace, deMoivre, Standardnormalverteilung, Approximationseigenschaften, Referat, Hausaufgabe, Zufallsvariablen
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Referat
X heißt stetige Zufallsvariable, genau dann, wenn x überabzählbar unendlich ist und eine nichtnegative integrierbare Funktion fx existiert mit b P(a X b) f(x)dx für alle a,b mit a b. a Satz von De Moivre-Laplace: Xn seien binominalverteilte Zufallsvariablen mit den Parametern n und p, 0 p 1, n 1,2,3,.... Dann gilt für beliebige endliche Intervalle u,v für die standardisierten Zufallsvariablen Xn (Xn np) np (1 p) : v 2 lim P(u Xn v) 1 (2 ) e 0,5 x dx . n u Definition (Standardnormalverteilung): Eine Zufallsvariable Z, für welche die Wahrscheinlichkeiten P(a Z b) für alle a und b mit b b 2 a b durch P(a Z b) (z) dz 1 (2 ) e 0,5 z dz a a erklärt sind, heißt standardnormalverteilt oder auch N(0;1)-verteilt. Die Funktion heißt Dichte der Zufallsvariablen Z. P(a Z b) P(a Z b) P(a Z b) P(a Z b) (b) - (a). P(Z z) P(Z z) 1 - (z) für jedes z . Approximationseigenschaft: X sei binominalverteilt mit den Parametern n und p mit np(1-p) 9. Dann gelten für die ganzzahligen Werte k, k1, k2 mit k1 k2 die Näherungen P(k1 X k2) ( (k2 0,5 np) np(1-p) ) - ( (k1- 0,5 np) np(1-p) ); P(Xn k) ( (k 0,5 np) np(1-p) ) - ( (k- 0,5 np) np(1-p) ); P(Xn k) ( (k 0,5 np) np(1-p) ) . Die Zufallsvariable X besitze den Erwartungswert E(X) und die Varianz 2 Var(X) . Falls ihre Standardisierung X X E(X) Var(X) (X- ) Z N(0;1)-verteilt ist, heißt X normaverteilt oder N( ; )-verteilt. Die Zufallsvariable X sei N( ; )-verteilt. Dann gilt: F(X) P(X x) ((x- ) ) (Verteilungsfunktion); 2 2 f(x) e-(x- ) (2 ) 1 (2 2) ...

Autor:
Kategorie:
Sonstiges
Anzahl Wörter:
536
Art:
Referat
Sprache:
Deutsch
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