Wegintegrale und Kurvenintegrale

Schlagwörter:
Referat, Hausaufgabe, Wegintegrale und Kurvenintegrale
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Referat
Wegintegrale und Kurvenintegrale Theorem 1: Sei F ein auf dem C1 Weg stetiges Vektorfeld und sei eine Reparameterisation von . Wenn richtungs-wahrend ist, dann gilt und wenn richtungs-wechselnd ist, dann gilt Beispiel: Sei und sei definiert durch . Rechnen Sie und aus. Lösung: Für haben wir und . Daraus folgt Für haben wir und . Daraus folgt Theorem 2: Sei stückweise C1, f eine stetige (reellwertige) Funktion auf dem Bild von und sei irgendeine Parametrisierung von . Dann gilt: Das nächste Theorem liefert eine nützliche Technik für das Ausrechnen von Kurvenintegralen: Es stellt eine Verallgemeinerung des Fundamentalsatzes dar. Theorem 3: Angenommen ist aus der Klasse C1 und daß ein stückweise C1 Weg ist. Dann gilt: (Beachte: für reellwertige Funktionen ) Beweis: Wendet man die Kettenregel auf die zusammengesetzte Funktion an, so erhält man . Die Funktion F ist eine reellwertige Funktion mit der Variablen t. So folgt also nach dem Fundamental-satz . Daraus folgt: Beispiel: Sei der Weg . Berechnen Sie . Lösung: Wir erkennen, daß ydx xdy bzw. das Vektorfeld yi xj 0k genau der Gradient der Funktion ist. So folgt . Definition: Wir definieren eine einfache Kurve C als das Bild einer stückweise C1 Abbildung , die auf dem Intervall I bijektiv ist. wird eine Parametrisierung von C genannt. Eine einfache Kurve ist also eine Kurve, die sich selbst nicht schneidet. Wenn I a,b , dann nennen wir (a) und (b) die Endpunkte der Kurve. Jede einfach Kurve hat zwei Orientierung oder ...

Autor:
Kategorie:
Sonstiges
Anzahl Wörter:
630
Art:
Referat
Sprache:
Deutsch
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