Die Transendenz der Zahl e

Schlagwörter:
nicht algebrische Zahlen, transzendent, Eulersche Zahl, Referat, Hausaufgabe, Die Transendenz der Zahl e
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Beschreibung / Inhalt
Das vorliegende Dokument ist ein Referat über die Transzendenz der Zahl e. Es wurde von drei Autoren im Rahmen des PS Analysis II gehalten. Zunächst wird der Unterschied zwischen algebraischen und transzendenten Zahlen erklärt. Irrationale und rationale Zahlen werden hierbei behandelt. Die meisten gebräuchlichen Zahlen sind algebraisch, was auch durch eine Grafik verdeutlicht wird. Der Fokus liegt jedoch auf der Zahl e und deren Transzendenz. Hierzu wird ein Beweis von David Hilbert aus dem Jahr 1893 vorgestellt. Die zentrale Idee des Beweises besteht in der Zerlegung von e in zwei Teilen. Es wird gezeigt, dass e nur durch rationale Zahlen besonders gut approximiert werden kann und dass sogar die endlichen Potenzen von e durch Brüche angenähert werden können. Im weiteren Verlauf wird dann der indirekte Beweis geführt, dass e transzendent ist. Dafür werden diverse mathematische Formeln und Ausdrücke verwendet, um zu einem Widerspruch zu gelangen. Am Ende wird der Satz formuliert und bewiesen, dass e transzendent ist. Insgesamt ist das Dokument sehr fachspezifisch und mathematisch anspruchsvoll. Es richtet sich an Personen, die sich mit höherer Mathematik und Analysis auskennen.
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Auszug aus Referat
Referat im PS Analysis II Gehalten am 15.1.1999 Von: Bayer Stefanie Rammler Markus Simmer Rudolf Zivkovic Daniel Die Transzendenz der Zahl e Die Frage, ob eine Zahl transzendent (nicht algebraisch) oder algebraisch ist, kann man mit Hilfe der algebraischen Gleichung leicht beantworten. Definition: Eine Zahl x heißt algebraisch, wenn sie folgende Gleichung erfüllt: , wobei algebraische Gleichung Eine Zahl x heißt transzendent, wenn sie nicht algebraisch ist. z.B. ist Lösung der Gleichung Also sind rationale Zahlen algebraisch und daher nicht transzendent, da sie die allgemeine Gleichung für erfüllen. Aus diesem Grund können nur irrationale Zahlen transzendent sein, wobei sich die Frage stellt, ob wirklich alle irrationalen Zahlen oder nur bestimmte transzendent sind. z.B. ist Lösung der Gleichung , woraus folgt, daß algebraisch ist, obwohl sie eine irrationale Zahl ist. Aus diesem Beispiel können wir folgern, daß alle Wurzeln Lösungen von algebraischen Gleichungen (d.h. algebraisch) sind. Wir können somit sehen, daß fast alle gebräuchlichen Zahlen algebraisch sind. Uns sind jedoch schon nach kurzem überlegen zwei Ausnahmen bekannt: und e Für e wollen wir nun den Beweis führen, wobei wir die Irrationalität von e voraussetzen. Der erste Beweis der Transzendenz von e stammt von Hermite aus dem Jahre 1873. Der hier vorgestellte Beweis ist von David Hilbert 1893 und stellt eine Vereinfachung des Beweises von Hermite dar. BEWEISIDEE Die zentrale Idee des Beweises ist die Zerlegung ...
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Autor:
Kategorie:
Mathe
Anzahl Wörter:
943
Art:
Referat
Sprache:
Deutsch
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