Integralrechnung

Beschreibung / Inhalt
Das Dokument beschäftigt sich mit der Integralrechnung, einem wichtigen Zweig der Analysis. Es erklärt, wie man einer Funktion für einen gegebenen Integrationsbereich ihr Integral zuordnet und das Integral als die Fläche unter dem Graphen der Funktion deutet. Es gibt zwei Arten von Integralen: das bestimmt und das unbestimmt Integral. Das bestimmte Integral wird verwendet, um die Fläche zwischen dem Graphen einer reellwertigen Funktion und der x-Achse im Intervall von a bis b zu berechnen, wobei a und b die untere bzw. obere Grenze des Integrationsbereichs sind. Das unbestimmte Integral ist die Menge aller Funktionen, deren Ableitung der gegebenen Funktion entspricht. Eine Stammfunktion einer Funktion ist jede Funktion, deren Ableitung die gegebene Funktion ergibt, wobei zwei Stammfunktionen sich nur um eine additive Konstante unterscheiden. Die Berechnung von Stammfunktionen ist oft schwierig oder nicht möglich, daher werden Integraltabellen verwendet. Die Anwendungsgebiete der Integralrechnung umfassen die Berechnung von Rauminhalten, Längen von Kurvenbögen, Oberflächen und Durchschnittswerten kontinuierlicher Funktionen.
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Auszug aus Referat
Vortrag Integralrechnung Was ist Integralrechnung? Die Integralrechnung ist neben der Differentialrechnung der wichtigste Zweig der mathematischen Disziplin Analysis (gr. analy- von áíáëõåéí auflösen). Mit der Operation Integration ordnet man einer Funktion für einen gegebenen Integrationsbereich ihr Integral zu. Das Integral wird elementar als die Fläche unter dem Graphen der Funktion gedeutet. Je nachdem, ob der Integrationsbereich endlich oder unendlich ist, heißt das Integral bestimmt oder uneigentlich. Die Stammfunktion einer Funktion wird auch deren unbestimmtes Integral genannt. Welche Methoden werden verwendet? Bestimmtes Integral: Die Integralrechnung entstand aus dem Problem, die Fläche zwischen dem Graphen einer reellwertigen Funktion f(x) und der x-Achse im Intervall von a bis b zu berechnen. Falls die Fläche sinnvoll bestimmt werden kann, nennt man die Funktion im Intervall integrierbar. Die reelle Zahl A, die die Größe der Fläche angibt, heißt dann das bestimmte Integral von f(x) über dem Intervall: Der Flächeninhalt ist orientiert, d.h. falls der Graph der Funktion unterhalb der x-Achse liegt, ist der Wert des bestimmten Integrals negativ. Das Integral wechselt ebenfalls das Vorzeichen, wenn die untere und obere Integrationsgrenze vertauscht werden. Wenn eine Nullstelle im zu untersuchenden Intervall vorliegt, gibt das Integral nicht mehr den Flächeninhalt an, sondern stellt nur noch eine Rechenregel dar. Benötigt man in einem solchen Intervall die Fläche ...
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