Anwendungsaufgaben zu vollständigen Induktion

Schlagwörter:
Primzahlen, Leonard Euler, Referat, Hausaufgabe, Anwendungsaufgaben zu vollständigen Induktion
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Beschreibung / Inhalt
Das Dokument behandelt verschiedene mathematische Themen, darunter die Vollständige Induktion und Primzahlen. Zunächst wird die Existenz unendlich vieler Primzahlen durch einen Widerspruchsbeweis belegt und anschließend durch eine konstruktive Idee der vollständigen Induktion. Außerdem wird eine Formel von Leonard Euler vorgestellt, die für bestimmte Werte von n Primzahlen erzeugt. In einem weiteren Teil wird die Frage beantwortet, ob diese Formel für alle n gilt.

Die Vollständige Induktion wird anhand eines Beispiels erklärt, bei dem die Anzahl der Klänge berechnet wird, die entstehen, wenn n Personen mit ihren Gläsern anstoßen. Dabei wird gezeigt, wie man die Induktionsanfang, -voraussetzung, -behauptung und -schluss anwendet, um zu beweisen, dass die Aussage für alle natürlichen Zahlen gültig ist.

Im Zusammenhang mit den Primzahlen wird der Widerspruchsbeweis erläutert, mit dem man beweisen kann, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Dazu wird eine Annahme gemacht, dass es nur endlich viele Primzahlen gibt, und gezeigt, dass daraus ein Widerspruch folgt. Es wird auch eine konstruktive Idee der vollständigen Induktion vorgestellt, wie man aus den ersten n Primzahlen eine weitere Primzahl konstruieren kann.

Die Formel von Leonard Euler besagt, dass für n² - n + 41 bestimmte Werte von n Primzahlen erzeugt werden. Es wird gezeigt, dass die Formel für n = 41 gilt und daraus geschlossen, dass sie für alle n gilt.

Insgesamt bietet das Dokument eine Einführung in verschiedene mathematische Denkweisen und Beweistechniken wie die vollständige Induktion und den Widerspruchsbeweis. Es zeigt auch, wie man anhand von Formeln und Beispielen mathematische Aussagen beweisen kann.
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Auszug aus Referat
Anwendungsaufgaben zur Vollständigen Induktion A: Behauptung: Es gibt unendlich viele Primzahlen Der geforderte Beweis wird oft durch Widerspruch geführt. Ich will das zunächst auch tun. Als zweiten Beweis gebe ich dann noch den durch vollst. Induktion. Man wird sehen, dass der Widerspruchsbeweis umständlicher ist. Es wird nämlich der Widerspruch genau mit der konstruktiven Idee für die vollst. Induktion erzeugt. Wenn es wirklich unendlich viele Primzahlen gibt, kann man sicher nicht alle Primzahlen aufschreiben. Aber man kann die Möglichkeit prüfen, dass es nur endlich viele Primzahlen gibt und diese Möglichkeit konsequent weiter denken. Am Ende dieser überlegung wird man feststellen, dass etwas nicht stimmt. Und wenn ein aufgrund logischer Gesetze entstandenes Endergebnis offensichtlich nicht wahr sein kann, ist erwiesen, dass auch die am Anfang getroffene Annahme nicht wahr sein kann. Aus etwas richtigem kann nach der mathematischen Logik niemals etwas falsches folgen. Diese Beweistechnik nennt man einen Widerspruchsbeweis. Angenommen es gäbe nur endlich viele Primzahlen p1,....,pn. Dann betrachte die Zahl p p1 ... pn 1, welche offensichtlich durch keines der pi, i 1,...,n teilbar ist. Dann muss p, welches ja von allen pi verschieden ist, offensichtlich eine Primzahl sein.Das ist ein Widerspruch zur Annahme. Also war die Annahme falsch, es muss demnach unendlich viele Primzahlen geben. Der Beweis enthält eine konstruktive Idee, wie man aus den ersten n Primzahlen eine ...
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Autor:
Kategorie:
Mathe
Anzahl Wörter:
835
Art:
Referat
Sprache:
Deutsch
Bewertung dieser Hausaufgabe
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