Hyperreelle Zahlen

Beschreibung / Inhalt
Das Dokument beschäftigt sich mit hyperreellen Zahlen und führt zu Beginn ein Beispiel ein, wie man diesen Zugang zu den hyperreellen Zahlen durch das Berechnen der Steigung von Kurven erhält. Es wird erklärt, dass der Wert für delta x für eine genaue Berechnung der Steigung benötigt wird und dass infinitesimale Zahlen R* aus reellen Zahlen und Infinitesimalen bestehen. Diese werden als sehr kleine Zahlen definiert und es werden einige Regeln genannt, wie sie sich zu anderen Zahlen verhalten. Es gibt auch endliche, positive unendliche und negative unendliche Zahlen, die ebenfalls definiert werden. In Theorem 1 werden Regeln für Infinitesimale, endliche und unendliche Zahlen aufgestellt, während Theorem 2 erklärt, unter welchen Bedingungen Zahlen infinitesimal, endlich oder unendlich sind. Weitere Theoreme beschreiben unterschiedliche Rechenregeln und zeigen, dass bestimmte hyperreelle Zahlen unendlich nahe beieinander liegen, während andere das Gegenteil behaupten. Das Dokument endet mit einer Darstellung der Standard Parts von endlichen hyperreellen Zahlen und einigen Regeln für den Umgang mit diesen.
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Auszug aus Referat
Hyperreelle Zahlen Teil 1: Einführung in die Hyperreelen Zahlen und einige Eigenschaften Zugang zu den hyperreellen Zahlen über das Berechnen der Steigung von Kurven z.B. durchschnittliche Steigung Da diese Operation nur erlaubt, wenn x 0 Je kleiner x wird, um so näher liegen die Punkte P1 und P2 beieinander die Steigung der Kurve in P1 ist also nahe bei . Da x nahe bei 0 liegt, können wir es vernachlässigen und sagen: Steigung 2x0 Die Entscheidung, ab wann eine reelle Zahl wie x klein genug ist, um vernachlässigt zu werden, ist definitionsbedürftig: die hyperreellen Zahlen R setzen sich aus den reellen Zahlen und den Infinitesimalen zusammen. DEF.: Infinitesimale 0 ist die einzige reelle Zahl, die auch Infinitesimal ist Für Hyperreelle Zahlen gelten alle bekannten Gesetze (bis auf das Archimedische Axiom) der reellen Zahlen (Abgeschlossen-heit bzgl. Addition, Multiplikation, Distributiv-, Assoziativ-, Kommutativgestze,....). Bezeichnung für Infinitesimale: x, y,...., , ,... Neben diesen sind aber noch andere Gesetze zu beachten: Ist ein positives Infinitesimal, so ist - ein negatives Infinitesimal. Ist ein positives Infinitesimal und r eine reelle Zahl, so ist r eine hyperreelle Zahl. Ist ein positives Infinitesimal und a eine reelle Zahl, so ist a ein positives Infinitesimal. Ist ein positives Infinitesima, so ist ein positives und - ein negatives Infinitesimal. DEF.: endlich, positiv unendlich, negativ unendlich THEOREM 1: Regeln für Infinitesimale, Endliche und ...
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