Einführung in die fraktale Geometrie

Beschreibung / Inhalt
Das vorliegende Dokument ist eine Jahresarbeit zum Thema fraktale Geometrie im Bereich Mathematik. Es enthält eine Projektbeschreibung, eine Definition des Begriffs „Fraktal“, eine Abgrenzung zwischen fraktaler und Euklidischer Geometrie, eine Erörterung zum Dimensionsbegriff sowie Beispiele zur Koch-Kurve und Cantor-Menge. Ziel der Arbeit ist es, eine einfache Einführung in die Theorie fraktaler Gebilde zu geben und diese anhand von Beispielen verständlicher zu gestalten. Die fraktale Geometrie unterscheidet sich von der Euklidischen Geometrie durch ihre Besonderheit zur Regel zu machen, wobei fraktale Objekte Singularitäten aufweisen und eine gebrochene Dimension besitzen. Die Defintion eines Fraktals verlangt nach einer Feinstruktur, Irregularität, exakter oder angenäherter Selbstähnlichkeit sowie einer fraktalen Dimension, die meist die Euklidische übersteigt. Die Dimensionsbegriffe werden in der Euklidischen Geometrie ausschließlich mit ganzen Zahlen erklärt, jedoch muss der Dimensionsbegriff für Fraktale neu gefaßt werden. Anhand der Koch-Kurve und der Cantor-Menge werden die fraktalen Dimensionen erläutert.
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Auszug aus Referat
Jahresarbeit Mathematik Einführung in die fraktale Geometrie Daniel Pfeiffer Inhaltsverzeichnis Projektbeschreibung Ziel dieser Jahresarbeit ist es, eine Einführung in die fraktale Geometrie zu geben. Dazu wird der Begriff fraktal definiert und es werden grundlegende Eigenschaften fraktaler Gebilde erläutert. Besonderen Wert wird dabei auf die Abgrenzung der Begriffe Dimension und Selbstähnlichkeit gelegt. Es wird versucht, die relativ theoretischen Zusammenhänge der fraktalen Geometrie an Beispielen zu erläutern und damit verständlicher zu gestalten. Definition des Begriffs Fraktal Fraktale sind, einfach ausgedrückt, Punktmengen mit gewissen bizarren Eigenschaften. Diese bizarren Eigenschaften sind mit dem Wissen der Klasse 11 als noch nicht erklärt anzusehen. Deshalb ist es nötig den Begriff Fraktal zu definieren: Eine Punktmenge heißt ein Fraktal nach K. Falconer, wenn gilt: F hat eine Feinstruktur; d.h. sie zeigt auf beliebig kleinen Skalen noch Struktur. F ist irregulär, um lokal oder global mit der Euklidischen Geometrie beschrieben werden zu können. F zeigt exakte oder angenäherte Selbstähnlichkeit. F hat eine fraktale (gebrochene) Dimension, die meist die Euklidische übersteigt. F kann auf einfache Weise definiert werden, meist rekursiv. fraktale Geometrie Aufgrund des Punktes zwei der Definition, ist es also nötig, die fraktale Geometrie von der alten Euklidischen Geometrie abzugrenzen. Abbildung 1 Die Euklidische Geometrie ist durch Begriffe wie Punkt, gerade ...
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