Aufgabenbeispiel zur Kurvendiskussion


(1) Definitionsbereich
(2) Achsenschnittpunkte
(3) Grenzwerte für x -> + x-> -
Grenzwertverhalten an den Polstellen
Ableitungen
(6) Extrempunkte
(7) Polynomdivision -> Asymptotengleichung

1.Beispiel : f(x) = (x^2-4)/(x-1)

(1) Definitionsbereich

D(f) = R \ {1}

Bedingung : x-1 0

x-1 = 0 ó x = 1

Achsenschnittpunkte
Schnittpunkte mit x-Achse

Bedingung : f(x) = 0

x^2-4 = 0 ó x = ± 4 ó x = -2 x = 2 (Auflösen nach x)
oder
x^2-4 = 0 ó (x+2)(x-2) = 0 ó x = -2 x = 2 (Binomische Formeln)

=>Sx1 (-2;0) Sx2 (2;0)

Schnittpunkte mit y-Achse

Bedingung : x = 0

f(0) = (0^2-4)/(x-1) = -4/-1 = 4

=>Sy(0;4)

Grenzwerte für x-> - x-> +
lim f(x) = lim x^2-4 = lim x(x-4/x) = lim x-4/x [ = /1] = +
x-> x-> x-1 x-> x(1-1/x) x-> 1-1/x

oder

lim f(x) = lim x^2-4 = lim 1-4/x^2 [ = 1/0] = +
x-> x-> x-1 x-> 1/x-1/x^2

lim f(x) [ = - /1] = -
x->-

Folgerung : lim f(x) = lim f(x) = -
x-> x->-

Grenzwertverhalten an den Polstellen
l-lim f(x) = lim (1-h)^2-4 = lim 1-2h+h^2-4 [ = -3/-h] =
x->1 h->0 (1-h)-1 h->0 -h

r-lim f(x) = lim (1+h)^2-4 = lim 1+2h+h^2-4 [ = -3/h] = -
x->1 h->0 (1+h)-1 h->0 h

Folgerung : Die Funktion f(x) = x^2-4
x-1
besitzt eine Unendlichkeitsstelle mit Vorzeichenwechsel von + nach - an der Stelle x=1
Ableitungen
1.Ableitung

f’(x) = 2x(x-1)-(x^2-4)1
(x-1)^2

= x^2-2x+4
(x^2-2x+1)

2.Ableitung

f’’(x) = (2x-2)(x^2-2x+1)-(x^2-2x+4)(2x-2)
(x-1)^4
= -6x+6 = -6(x-1) = _-6__
(x-1)^4 (x-1)^4 (x-1)^3

3.Ableitung

f’’’(x) = 18
(x-1)^4

Extrempunkte
notwendige Bedingung : f’(x) = 0

f’(x) = x^2-2x+4 = 0
(x-1)^2

ó x^2-2x+4 = 0
ó x1 = 1 + 1-4 nicht definiert

x2 = 1 - 1-4 nicht definiert

LL = { }

Folgerung : Es gibt keine Hoch- oder Tiefpunkte

Asymptotengleichung
(x^2-4) : (x-1) = x+1 + (-3)/(x-1)
-(x^2-x)
x-4
-(x-1)
-3

(x^2-4) : (x-1) = x+1 + (-3)/(x-1)

ó (x^2-4)/(x-1) = x+1 - 3/(x+1) = f(x) ¦ -(x+1)
f(x) g(x) ->0(x->± )


Behauptung : lim f(x) = lim g(x)
x->± x->±

Beweis : x^2-4 - (x-1) = - 3
x-1 x-1
f(x) - g(x) = - 3
x-1

lim (f(x)-g(x) = lim - 3
x-> x-> x-1

lim f(x) - lim g(x) = 0 ½ +[ lim g(x)]
x-> x-> x->

ó lim f(x) = lim g(x)
x-> x->