GEOMETRIE- ABSTANDSBERECHNUNGEN



ABSTAND EBENE - EBENE

E: Ax + By + Cz − D = 0 F: Ax + By + Cz − E = 0

Abstand nur zu berechnen, wenn es sich um zwei parallele Ebenen handelt
Länge des Normalenvektors bestimmen [ √A^2 +B^2 + C^3 ]
E −D, geteilt durch die Länge des Normalenvektors
Ergebnis = Abstand der beiden parallelen Ebenen




ABSTAND PUNKT - EBENE
(Möglichkeit 1)

Aus dem Punkt und dem Normalenvektor eine zweite Ebene bilden (diese ist dann parallel zur Ebene E)
Normalenvektor verknüpft mit x minus Normalenvektor verknüpft mit Punkt

→ → →
n o x − n o p

Ebenengleichung aufstellen, dann Abstand zwischen den beiden parallelen Geraden berechnen (sh. oben)
Ergebnis = Abstand Punkt- Ebene


(Möglichkeit 2)

Hesse’sche Normalenform aufstellen
Dazu Länge des Normalenvektors berechnen

→ → →
1 / L ( n ) * [( n ) o x D] = 0


Punkt für x einsetzen
Ergebnis = Abstand Punkt − Ebene






ABSTAND GERADE - EBENE

Mit dem Antragspunkt der Geraden und dem Normalenvektor der Ebene eine Ebenengleichung aufstellen
→ → → →
n o x − n o p

Abstand der beiden Ebenen bestimmen
Ergebnis = Abstand Gerade- Ebene

ABSTAND PUNKT - GERADE

Der Richtungsvektor der Geraden wird als Normalenvektor betrachtet, um eine Ebenengleichung aufstellen zu können (Also Ebene aus Richtungsvektor und Punkt aufspannen)

→ → → →
n o x − n o p

Schnittpunkt der Geraden mit der Ebene berechnen
Geradengleichung nach r (bzw. der Variablen) auflösen
Einsetzen in die Ebenengleichung
Ergebnis = Schnittpunkt Gerade - Ebene → →
Vektor aus Schnittpunkt und Punkt bilden ( s - p )
Länge des Vektors berechnen
Ergebnis = Abstand Punkt - Gerade




ABSTAND GERADE - GERADE ( gilt nur für parallele Geraden! )

Mit dem Richtungsvektor von Gerade 1 und dem Antragspunkt von Gerade 2 (oder anders herum) eine Ebenengleichung aufstellen (sh. oben)
Schnittpunkt berechnen (Gerade 1 und Ebene)
weitere Rechnung sh. Abstand Punkt- Gerade



ABSTAND ZWISCHEN ZWEI WINDSCHIEFEN GERADEN

Beziehung zwischen den beiden Geraden herstelllen
→ → →
n o u1 = 0 n o u2 =0

Durch Additionsverfahren n bestimmen (beliebigen Wert für ein n einsetzen, um die anderen beiden bestimmen zu können)
Ergebnis = Normalenvektor
Mit dem (berechneten) Normalenvektor und dem Antragspunkt der Geraden 1 Ebenengleichung aufstellen
Mit dem (berechneten) Normalenvektor und dem Antragspunkt der Geraden 2 Ebenengleichnug aufstellen
Abstand der beiden Ebenen berechnen
Ergebnis = Abstand der beiden windschiefen Geraden




ABSTAND EBENE - URSPRUNG

D durch die Länge des Normalenvektors teilen
Ergebnis = Abstand Ebene - Ursprung